ある事象を表す値が確率pにしたがって出現する時、その値を確率変数という。 (例)サイコロの目や宝くじの当選金額など

確率変数には離散か連続か、値のタイプに応じて２タイプ存在する。 * 離散型 * 連続型

確率変数がどんな値になる可能性が高いのかなど、実現値と確率の間の関数として表現されてるもの。 (例) 実現値が変数x以下を取る確率分布はこちらのように定義する。 $F(x) = P(X \leq x)$

確率分布 $F(x)$ は微分可能な場合が多い。この時導関数を確率密度関数、密度関数として $f(x)$ と表す。

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u) du$

と表現できる。

離散型・連続型の期待値と分散

$E(X) = \sum_{i}{p_i x_i}$

$V(X) = E{{(X - \mu)}^2} = \sum_{i}{p_i {(x_i - \mu)}^2}$

また、

$V(X) = E({X}^2) - {{ E(X)}}^2$ とも表せる。

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} {x f(x)} dx$

$V(X) = \int_{-\infty}^{\infty}{{(x-\mu)}^2f(x)dx}$

期待値・分散の和

$E(c_1 X_1 + c_2 X_2 + \dots + c_n X_n) = c_1 E(X_1) + c_2 E(X_2) + \dots + c_n E(X_n)$

$V(c_1 X_1 + c_2 X_2 + \dots + c_n X_n) = {c_1}^2 E(X_1) + {c_2}^2 E(X_2) + \dots + {c_n}^2 E(X_n)$